МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ТИПОВИХ ОБ’ЄКТІВ З РОЗПОДІЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ ТА РОЗРАХУНОК ЇХ ДИНАМІЧНИХ ХАРАКТЕРИ-СТИК

Анотація

Класичні методи дослідження систем автоматичного керування орієнтовані на представлення елементів системи у формі скінченної сукупності зосереджених акумулювальних ємностей. Тоді математична модель системи має вигляд системи диференціальних рівнянь, простір станів має скінченний порядок, а отже є можливість використовувати матричні методи. Методи дослідження систем довільного (але скінченного) порядку відпрацьовані достатньо повно, у більшості випадків – вичерпно. Є відлагоджені алгоритми, доведені до рівня комп’ютерних програм. Інша справа – системи, що містять елементи з явно вираженою просторовою розподіленістю параметрів. Подібні елементи описуються системами диференціальних рівнянь у частинних похідних, їх передавальні функції (якщо їх вдається визначити) є трансцендентними, отже, в математичному плані це елементи нескінченно високого порядку. Застосування для їх дослідження методів класичної теорії автоматичного керування (критеріїв Гурвіца та Михайлова, кореневих годографів і т. ін.) неможливе. Нескінченне розмаїття об’єктів з розподіленими параметрами, а саме до таких належить переважна більшість технологічних об’єктів у хімічній, харчовій промисловостях і в енергетиці, робить неможливою також розробку універсальних комп’ютерних алгоритмів їх дослідження.

Класичні методи дослідження систем автоматичного керування орієнтовані на представлення елементів системи у формі скінченної сукупності зосереджених акумулювальних ємностей. Тоді математична модель системи має вигляд системи диференціальних рівнянь, простір станів має скінченний порядок, а отже є можливість використовувати матричні методи. Методи дослідження систем довільного (але скінченного) порядку відпрацьовані достатньо повно, у більшості випадків – вичерпно. Є відлагоджені алгоритми, доведені до рівня комп’ютерних програм. Інша справа – системи, що містять елементи з явно вираженою просторовою розподіленістю параметрів. Подібні елементи описуються системами диференціальних рівнянь у частинних похідних, їх передавальні функції (якщо їх вдається визначити) є трансцендентними, отже, в математичному плані це елементи нескінченно високого порядку. Застосування для їх дослідження методів класичної теорії автоматичного керування (критеріїв Гурвіца та Михайлова, кореневих годографів і т. ін.) неможливе. Нескінченне розмаїття об’єктів з розподіленими параметрами, а саме до таких належить переважна більшість технологічних об’єктів у хімічній, харчовій промисловостях і в енергетиці, робить неможливою також розробку універсальних комп’ютерних алгоритмів їх дослідження.

Таким чином, актуальною є необхідність розробки комп’ютерних алгоритмів визначення статичних і динамічних характеристик принаймні типових (характерних для технологічних апаратів у хімічній промисловості) об’єктів, у яких просторова розподіленість параметрів виявлена настільки різко, що неврахування цієї особливості різко знижує рівень адекватності створюваної моделі аж до повної її непридатності.

Нами розглядаються такі об’єкти:

1. Товсті теплоакумулювальні стінки (плоскі, циліндричні та сферичні), моделюється їх тепловий режим;

2. Трубопроводи з тонкими теплоакумулювальними стінками;

3. Трубопроводи типу «труба в трубі» (прямо – та протитечійні);

4. Проточні ємкості з відносно товстими теплоакумулювальними стінками;

5. Змійовикові (кожухотрубчасті) теплообмінники;

6. Об’єкти, моделі яких зводяться до різновидів хвильового рівняння;

7. Модель важкої нитки (ланцюга) з додатковим тягарем на кінці (у двох останніх випадках мова йде про поперечні коливання);

8. Модель типу проточного датчика густини рідини;

9. Модель типу транспортера-витратоміра;

Для кожного з перелічених об’єктів виведено відповідну систему диференціальних рівнянь (частина з яких – у частинних похідних). Отримано або, як мінімум, визначено алгоритм формування передавальних функцій цих об’єктів, які, природньо, є трансцендентними.

Розроблено та реалізовано у вигляді програм на Турбо Паскалі алгоритми розрахунку передавальних та імпульсних характеристик для усіх можливих каналів у кожному із розглянутих об’єктів.

Продемонстровано можливості модуля GodoGt який забезпечує розрахунок та формування годографів амплітудно-фазових та графіків інших частотних характеристик (амплітудно-частотних, фазо-частотних, дійсно- та уявно-час­тотних).

На прикладі змійовикового теплообмінника розглядається можливість врахування залежності коефіцієнтів розв’язуваної системи диференціальних рівнянь для поточного режиму, тобто відпрацьовується варіант врахування нелінійної моделі об’єкта для розрахунку кривих розгону, коли модель інтерпретується не у прирощеннях змінних (температур) до їх базових усталених значень, а в «абсолютних» величинах.

Матеріал магістерської десертації оформлюється у вигляді навчального посібника з курсу «Спеціальні розділи теорії автоматичного керування».

Кубрак А. І., Яковенко Я. С.