СПЛАЙНОВЕ ЗГЛАДЖУВАННЯ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНО ОТРИМАНИХ ПЕРЕХІДНИХ ХАРАКТЕРИСТИК

Анотація

Для оцінки динамічних характеристик технологічних об’єктів керування
найчастіше використовують перехідні характеристики, отримані в результаті
спеціально поставленого експерименту. Ординати перехідної характеристики в
такому випадку представляються масивом її ординат з деяким кроком Dtm
(нумерація ординати від 0 до m). Зазвичай ці ординати можуть бути визначені з
деякою похибкою. Для подальшого використання отриманий масив треба
згладити і водночас ущільнити (з ущільненим масивом легше реалізувати
операції числового диференціювання чи інтегрування). Наприклад, перехідну
характеристику можна перетворити в імпульсну шляхом її диференціювання, а
для ідентифікації об’єкта методом площ (Симою) масив Ht, треба багаторазово
інтегрувати за часом [1].

Для оцінки динамічних характеристик технологічних об’єктів керування
найчастіше використовують перехідні характеристики, отримані в результаті
спеціально поставленого експерименту. Ординати перехідної характеристики в
такому випадку представляються масивом її ординат з деяким кроком Dtm
(нумерація ординати від 0 до m). Зазвичай ці ординати можуть бути визначені з
деякою похибкою. Для подальшого використання отриманий масив треба
згладити і водночас ущільнити (з ущільненим масивом легше реалізувати
операції числового диференціювання чи інтегрування). Наприклад, перехідну
характеристику можна перетворити в імпульсну шляхом її диференціювання, а
для ідентифікації об’єкта методом площ (Симою) масив Ht, треба багаторазово
інтегрувати за часом [1].
Враховуючи специфіку форми перехідних характеристик об’єктів з
самовирівнюванням, можна запропонувати такий алгоритм згладжування,
суміщений з інтерполяцією. За апроксимувальну структуру вибрано кубічний
сплайн

Це означає, що відрізок часу Dt0, де DtmmD розбивається на m
однакових інтервалів, нумерація яких починається з 1. Тоді s-й інтервал буде
SSttt
1. І на кожному з цих інтервалів як апроксимувальний відрізок буде
поліном (1), де перший індекс біля коефіцієнтів дорівнює степеню (t–t S-1 ), а
другий – номерові інтервалу, на який припадає поточне значення t.
Щоб визначити коефіцієнти формули (1) для кожного із інтервалів
пропонується перехідну характеристику, що підлягає згладжуванню-
інтерполяції, представити відрізком ряду Маклорена в околі точки t S-1 (це лівий
край s-го інтервалу).

Порівнюючи (1) з (2), доходимо висновку, що для якісної апроксимації

варто було б прирівняти коефіцієнти біля однакових степенів (t-t S-1 ).

(6)

Умова (3) – це умова інтерполяції. Для згладжування замінимо її на таку, (7)

А в формулах (4) – (6) представимо значення похідних відповідними їм
різницевими співвідношеннями

(10)

Можна показати, що формули (7) – (10) забезпечують неперервність як
самої апроксимувальної формули (1), так і її першої та другої похідних. Але
щоб скористатись формулами (7) – (10) в діапазоні ms1, треба, принаймні,
мати значення y -1 та y m+1, яких у наборі ординат немає. Це віртуальні ординати,
які мають бути задані відповідно до граничних умов.
Як граничні умови для апроксимації перехідної характеристики варто
задати такі:

на лівому кінці (в точці t 0 = 0) та

на правому (для t = t m ).
Рівняння (11) та (13) вказують на небажаність того, щоб перший (з
нульовим номером) та останній (з номером m) елементи масиву перехідної
характеристики в процесі згладжування могли змінити свої значення.
Рівняннями (12) та (14) задають бажані значення першої похідної на лівому
кінці (y 0 ′ для t 0 = 0) та на правому кінці (y m ′ для t = m). Умов (11) – (14)
виявилось на дві більше, ніж було треба.
Щоб звести баланс (умов і можливостей) приймемо, що, крім введення
двох віртуальних точок (y -1 та y m+1 ), ми погодимося на модифікацію – зміну
наявних двох точок, а саме y 1 та y m-1 .
Щоб оперувати з умовами (12), (14) продиференціюємо (1) за t:

Тоді з умов (11) та (12) із урахуванням виразів (7) та (8) отримуємо

Розв’язок цієї системи відносно y 1 та y -1 має вигляд

Формули (7) – (10), для реалізації яких враховуються попередньо визначені

віртуальні точки (16) – (18), покладені в процедуру SplSgl3.
procedure SplSgl3(y: Coefr; y10,y1m:real; var ys:Coefr)
var m, s: integer; h, h2, h3:real;
begin
m:=round(y[-1]); h:=y[m+1]; h2:=h*h;
h3:=h2*h: A0[-1]:=m;
y[-1]:=y[0]- h*y10; y[1]:=y[0]+h*y10;
y[m-1]:=y[m]- h*y1m; y[m+1]:=y[m]+h*y1m;
for s:=1 to m do
begin
A0[s]:=(y[s-2]+4*y[s- 1]+y[s])/6;
A1[s]:=(y[s]-y[s- 2])/(2*h);
A2[s]:=(y[s-2]- 2*y[s-1]+y[s])/(2*h2);
A3[s]:=(-y[s- 2]+3*y[s-1]- 3*y[s]+y[s+1])/(6*h3);
end;
ys[-1]:=m; ys[m]:=y[m]; ys[m+1]:=h;
for s:=0 to m-1 do ys[s]:=A0[s+1]
end;
Обчислення значень згладженої функції – функція Splint.
function Splint(x: real):real;
var m, s:integer;
begin
s:trunc(x)+1; x:=frac(x);
Splint:=((A3[s]*x+A2[8])*x+A1[8])*x+A0[s];
end;
Тут аргумент х – нормований до діапазону mx0.

За потреби отриману функцію Ys:Coefr можна згладжувати повторно і
навіть не один раз. Цим забезпечується простий, надійний і високоякісний
спосіб одночасного згладжування й інтерполяції будь-яких перехідних
характеристик.